Question

15．已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，滿足f（0）=1，且f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若方程f（2^x）=2^x+a在x∈（-∞，2]上有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)f（0）=1求出c的值，根據(jù)f（x+1）-f（x）=2x，求出a，b的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為a=（2^x-1）²在x∈（-∞，2]上有兩個(gè)不同的解，令t=2^x，則0＜t≤4，令g（t）=（t-1）²，畫出函數(shù)g（t）和y=a的圖象，讀出a的范圍即可．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，
∴f（x）=ax²+bx+1，
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+1=ax²+（2a+b）x+a+b+1，
∴f（x+1）-f（x）=ax²+（2a+b）x+a+b+1-ax²-bx-1
=2ax+a+b，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴2ax+a+b=2x，
∴2a=2且a+b=0，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）若方程f（2^x）=2^x+a在x∈（-∞，2]上有兩個(gè)不同的解，
即a=（2^x-1）²在x∈（-∞，2]上有兩個(gè)不同的解，
令t=2^x，則0＜t≤4，
令g（t）=（t-1）²，
畫出函數(shù)g（t）和y=a的圖象，如圖所示：
故0＜a＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．