Question

（本小題13分）為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵(lì)下，進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該處理成本（萬(wàn)元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：

，且每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20萬(wàn)元的某種化工產(chǎn)品．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不能獲利，則國(guó)家至少需要補(bǔ)貼多少萬(wàn)元，該工廠才不會(huì)虧損？

（Ⅱ）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？

 

Answer 1

（1）國(guó)家至少需要補(bǔ)貼700萬(wàn)元，該工廠才不會(huì)虧損；（2）當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少．

【解析】

試題分析：（1）利用每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20萬(wàn)元的某種化工產(chǎn)品，及處理成本（萬(wàn)元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系，可得利潤(rùn)函數(shù)，利用配方法，即可求得結(jié)論；（2）求得二氧化碳的每噸平均處理成本函數(shù)是分段函數(shù)，再分段求出函數(shù)的最值，比較其大小，即可求得結(jié)論．

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，設(shè)該工廠獲利為，則，所以當(dāng)時(shí)，，因此，該工廠不會(huì)獲利，所以國(guó)家至少需要補(bǔ)貼700萬(wàn)元，該工廠才不會(huì)虧損； 5分

（Ⅱ）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為 6分

（1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022706023784378896/SYS201502270602422658741432_DA/SYS201502270602422658741432_DA.009.png">，所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值． 9分

（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值， 12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015022706023784378896/SYS201502270602422658741432_DA/SYS201502270602422658741432_DA.025.png">，所以當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少． 13分

考點(diǎn)：應(yīng)用題，基本不等式．