Question

數列{a_n}中，a₁=3，對于任意大于1的正整數n，點（

an

，

an-1

）都在直線x-y-

3

=0上，則

lim

n→∞

an

(n+1)2

=

 

．

Answer 1

考點：數列的極限

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：根據一個點在一條直線上，點的坐標滿足直線的方程，代入整理成一個等差數列，看出首項和公差，寫出數列的通項公式，兩邊開方，求出a_n=3n²，即可求出

lim

n→∞

an

(n+1)2

．

解答： 解：∵點（

an

，

an-1

）都在直線x-y-

3

=0上，
∴

an

-

an-1

=

3

又a₁=3，
∴{

an

}是以

3

為首項，

3

為公差的等差數列，
∴

an

=

3

n，
即a_n=3n²，
∴

lim

n→∞

an

(n+1)2

=

lim

n→∞

3n2

(n+1)2

=

lim

n→∞

3

1+ 2 n + 1 n2

=3
故答案為：3．

點評：本題考查等差數列，考查等差數列的性質，考查等差數列的通項，考查極限知識，是一個簡單的綜合題目．