Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-a）•e^x，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，試求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）試求f（x）在[1，2]上的最大值；
（Ⅲ）當a=1時，求證：對于?x∈[-5，+∞），$f（x）+x+5≥-\frac{6}{e^5}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的最大值是f（1）或f（2），通過作差求出滿足f（1）或f（2）最大時a的范圍，從而求出f（x）的最大值；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=（x-a）•e^x得f'（x）=（x-a+1）•e^x．
當a=1時，f'（x）=x•e^x，令f'（x）＞0，得x＞0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．…（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=0得x=a-1．
所以當a-1≤1時，x∈[1，2]時f'（x）≥0恒成立，f（x）單調(diào)遞增；
當a-1≥2時，x∈[1，2]時f'（x）≤0恒成立，f（x）單調(diào)遞減；
當1＜a-1＜2時，x∈[1，a-1）時f'（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（a-1，2）時f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，無論a為何值，當x∈[1，2]時，f（x）最大值都為f（1）或f（2）．
f（1）=（1-a）e，f（2）=（2-a）e²，
f（1）-f（2）=（1-a）e-（2-a）e²=（e²-e）a-（2e²-e）．
所以當$a≥\frac{{2{e^2}-e}}{{{e^2}-e}}=\frac{2e-1}{e-1}$時，f（1）-f（2）≥0，f（x）_max=f（1）=（1-a）e．
當$a＜\frac{{2{e^2}-e}}{{{e^2}-e}}=\frac{2e-1}{e-1}$時，f（1）-f（2）＜0，$f{（x）_{max}}=f（2）=（2-a）{e^2}$．…（10分）
（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x，所以h'（x）=xe^x+1．
所以h''（x）=（x+1）e^x．
令h''（x）=（x+1）e^x=0，解得x=-1，
所以當x∈[-5，-1），h''（x）＜0，h'（x）單調(diào)遞減；
當x∈[-1，+∞），h''（x）＞0，h'（x）單調(diào)遞增．
所以當x=-1時，$h'{（x）_{min}}=h'（-1）=1-\frac{1}{e}＞0$．
所以函數(shù)h（x）在[-5，+∞）單調(diào)遞增．
所以$h（x）≥h（-5）=-\frac{6}{e^5}-5$．
所以?x∈[-5，+∞），$f（x）+x+5≥-\frac{6}{e^5}$恒成立．         …（13分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是一道綜合題．