Question

8．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，滿足（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求B的大��；
（2）如圖，AB=AC，在直線AC的右側(cè)取點D，使得AD=2CD=4．當(dāng)角D為何值時，四邊形ABCD面積最大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式即可求出B的大小，
（2）若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大，根據(jù)余弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)D=$\frac{π}{2}$時，四邊形ABCD面積最大

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵AB=AC，B=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC為等邊三角形，
∵若四邊形ABCD面積最大，
∴△ADC的面積最大，
設(shè)AC=x，在△ADC中，由余弦定理可得x²=AC²=CD²+AD²-2CD•AD•cosD=4+16-2×2×4cosD，
∴cosD=$\frac{20-{x}^{2}}{16}$，
∴sinD=$\frac{\sqrt{1{6}^{2}-（20-{x}^{2}）^{2}}}{16}$，當(dāng)x²=20時，即x=2$\sqrt{5}$，-（20-x²）²+16²最大，即sinD最大，最大為1，
∵S_△ADC=$\frac{1}{2}$CD•AD•sinD=4sinD，
∴D=$\frac{π}{2}$時，S_△ADC的面積最大，
∴當(dāng)D=$\frac{π}{2}$時，四邊形ABCD面積最大．

點評 本題考查了三角函數(shù)的化簡和正弦定理余弦定理和三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題