Question

16．已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-3x，g（x）=2x²ln|x|．
（1）若函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）判斷函數(shù)g（x）的奇偶性，并寫出g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對(duì)一切x∈（0，+∞），函數(shù)f（x）的圖象恒在g（x）圖象的下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)判別式△≤0，求出a的范圍即可；
（2）求出g（x）是偶函數(shù)，求出x＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為$a＜x+\frac{3}{x}+2lnx$在x∈（0，+∞）上恒成立，令$h（x）=x+\frac{3}{x}+2lnx$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=-x³+ax²-3x，得f'（x）=-3x²+2ax-3，
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f'（x）≤0在R上恒成立，
所以△=4a²-4×9≤0，解得-3≤a≤3．   …（3分）
（2）由g（x）=2x²ln|x|，知定義域（-∞，0）∪（0，+∞）
所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱                  …（5分）
當(dāng)g（-x）=2（-x）²ln|-x|=2x²ln|x|=g（x）
所以函數(shù)g（x）是偶函數(shù)．…（7分）
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=2x²lnx，$g′（x）=4xlnx+2{x^2}\frac{1}{x}=2x（{2lnx+1}）$，
令 g′（x）=0，得$x={e^{-\frac{1}{2}}}$，…（9分）
且$x∈（{0，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$時(shí)，$g′（x）＜0；x∈（{{e^{-\frac{1}{2}}}，+∞}），g′（x）＞0$
結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性，知函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是：$（{-{e^{-\frac{1}{2}}}，0}），（{{e^{-\frac{1}{2}}}，+∞}）$
單調(diào)減區(qū)間是：$（{-∞，-{e^{-\frac{1}{2}}}}），（{0，{e^{-\frac{1}{2}}}}）$．     …（11分）
（3）題意即為f（x）＜g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立，
即$a＜x+\frac{3}{x}+2lnx$在x∈（0，+∞）上恒成立．…（13分）
令$h（x）=x+\frac{3}{x}+2lnx$，則$h′（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}$，
令$h′（x）=\frac{{（{x+3}）（{x-1}）}}{x^2}=0$，得x=1，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0
所以h（x）_min=h（1）=4，所以a＜4．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．