Question

8．已知函數(shù)f（x）對任意x∈[0，+∞）都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$且當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=x+1，若函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）（0＜a＜1）在區(qū)間[0，4）上有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$]
• B． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$]
• C． [$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]
• D． （$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 將x換為x+1，可得函數(shù)f（x）（x∈[0，+∞））的周期為2，問題等價于f（x）圖象與y=log_a（x+1）在區(qū)間[0，4）內(nèi)有2個交點，數(shù)形結(jié)合可得a的不等式，解不等式可得．

解答 解：∵函數(shù)f（x）對任意x∈[0，+∞）
都有f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=f（x+1+1）=-$\frac{1}{f（x+1）}$=f（x），
∴函數(shù)f（x）（x∈[0，+∞））的周期為2，
在區(qū)間[0，4）內(nèi)函數(shù)g（x）=f（x）-log_a（x+1）有2個零點等價于y=f（x）圖象與y=log_a（x+1）在區(qū)間[0，4）內(nèi)有2個交點，
由當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=x+1，
可得x+1∈[1，2）時，f（x+1）=-$\frac{1}{f（x）}$=-$\frac{1}{x+1}$，
即有x∈[1，2）時，f（x）=-$\frac{1}{x}$，
作出y=f（x）在[0，4）的圖象，以及y=log_a（x+1）的圖象，
當(dāng)y=log_a（x+1）的圖象過A（3，-1），可得-1=log_a（3+1），
解得a=$\frac{1}{4}$；
當(dāng)y=log_a（x+1）的圖象過B（2，-$\frac{1}{2}$），可得-$\frac{1}{2}$=log_a（2+1），
解得a=$\frac{1}{9}$．
由圖象可得，a的范圍是（$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$]．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)零點的判定，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．