Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）-

x

2

．
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0有解，求m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）=log₄[1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa]，n≥2，n∈N，對任意x∈（-∞，1]有意義，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用奇偶函數(shù)的定義判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（Ⅱ）只要m≥f（x）的最小值即可；求f（x）的最小值；
（Ⅲ）由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0得到a＜(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x恒成立，可知yi=(

i

n

)x，i=1，2…n-1，是減函數(shù)，得到y(tǒng)=(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x也是減函數(shù)，求其最小值，只要a小于其最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）是偶函數(shù)，
∵f（-x）=log₄（4^-x+1）+

x

2

=log₄

1+4x

4x

+

x

2

=log₄（4^x+1）-

x

2

=f（x）．
故f（x）是偶函數(shù)．
（Ⅱ）∵f（x）-m=0∴m=f（x）=log₄（4^x+1）-

x

2

=log₄（4^x+1）-log₄2^x=log₄（2x+

1

2x

），又2x+

1

2x

=(

2x

-

1

2x

)2+2≥2，∴m≥

1

2

；
故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范圍為m≥

1

2

．
（Ⅲ）由1+2^x+3^x+…+（n-1）^x-n^xa＞0
知a＜(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x恒成立
又∵yi=(

i

n

)x，i=1，2…n-1，是減函數(shù)，
∴y=(

1

n

)x+(

2

n

)x+…+(

n-1

n

)x也是減函數(shù)，
∴在區(qū)間（-∞，1]上有ymin=

1

n

+

2

n

+

3

n

+…+

n-1

n

=

n-1

2

＞a，
∴a的取值范圍是（-∞，

n-1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷以及方程根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，同時考查了恒成立問題，屬于難題．