Question

9．定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，且f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，若關于x的不等式f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{1}{2e}$，$\frac{ln6+6}{6}$]
• B． [$\frac{1}{e}$，$\frac{ln6+6}{3}$]
• C． [$\frac{1}{e}$，$\frac{ln3+6}{3}$]
• D． [$\frac{1}{2e}$，$\frac{ln3+6}{6}$]

Answer 1

分析 由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得0≤2mx-lnx≤6對x∈[1，3]恒成立，2m≥$\frac{lnx}{x}$且2m≤$\frac{6+lnx}{x}$對x∈[1，3]恒成立．求得相應的最大值和最小值，從而求得m的范圍．

解答 解：∴定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
∵函數(shù)數(shù)f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
若不等式f（2mx-lnx-3）≥2f（3）-f（-2mx+lnx+3）對x∈[1，3]恒成立，
即f（2mx-lnx-3）≥f（3）對x∈[1，3]恒成立．
∴-3≤2mx-lnx-3≤3對x∈[1，3]恒成立，
即0≤2mx-lnx≤6對x∈[1，3]恒成立，
即2m≥$\frac{lnx}{x}$且2m≤$\frac{6+lnx}{x}$對x∈[1，3]恒成立．
令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，則 g′（x）=$\frac{1-lnx}{x}$，在[1，e）上遞增，（e，3]上遞減，∴g（x）_max=$\frac{1}{e}$．
令h（x）=$\frac{6+lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{-5-lnx}{{x}^{2}}$＜0，在[1，3]上遞減，∴h（x）_min=$\frac{6+ln3}{3}$．
綜上所述，m∈[$\frac{1}{2e}$，$\frac{6+ln3}{6}$]．
故選D．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．