Question

20．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-$\frac{1}{3}$，2），若點(diǎn)M（x，y）為平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|的最小值是1．

Answer 1

分析 由題意作出可行域，由向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$的坐標(biāo)，把|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)N（$\frac{1}{3}$，-2）的距離，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{y≤2x}\\{x+y≤1}\\{y≥-1}\end{array}\right.$作平面區(qū)域如圖，

∵A（-$\frac{1}{3}$，2），M（x，y），
∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$=（-$\frac{1}{3}$，2）+（x，y）=（x-$\frac{1}{3}$，y+2），
則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{（x-\frac{1}{3}）^{2}+（y+2）^{2}}$．
要使|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OM}$|最小，則可行域內(nèi)的點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)N（$\frac{1}{3}$，-2）的距離最�。�
由圖可知，當(dāng)N到直線BC的距離最小，所求最小值是1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等解題思想方法，考查了向量模的求法，是中檔題．