數(shù)列{an}(n∈N﹡)中,a1=0,當(dāng)3an<n2時，an+1=n2,當(dāng)3an>n2時，an+1=3an.求a2，a3，a4，a5,猜測數(shù)列的通項an并證明你的結(jié)論.

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解析試題分析：先由遞推公式分別求出的值，猜測數(shù)列的通項，再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
試題解析：當(dāng)時，，則，知，因為，由數(shù)列定義知.因為,由數(shù)列定義知.又因為,由定義知
4分
由此猜測:當(dāng)n≥3時，                         6分
下面用數(shù)學(xué)歸納法去證明:當(dāng)n≥3時，3an>n2.當(dāng)n=3時，由前面的討論知結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時，成立.則由數(shù)列定義知,從而.所以，即當(dāng)n=k+1(k≥3)時，成立. 故當(dāng)n≥3時，.而.因此.   11分
綜上所述，當(dāng)時，，，( n≥3)              13分
考點：推理與證明、數(shù)學(xué)歸納法.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}的前n項和為，,滿足，
（1）求的值；
（2）猜想的表達式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一個三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項數(shù)）：第一行是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個數(shù)是其肩上兩個數(shù)的和，例如：；為數(shù)表中第行的第個數(shù)．
（1）求第2行和第3行的通項公式和；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列；
（3）求關(guān)于（）的表達式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若正數(shù)項數(shù)列的前項和為，首項，點，在曲線上.
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè),表示數(shù)列的前項和，若恒成立，求及實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列的前項和為，．
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）若，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某產(chǎn)品具有一定的時效性，在這個時效期內(nèi)，由市場調(diào)查可知，在不做廣告宣傳且每件獲利元的前提下，可賣出件；若做廣告宣傳，廣告費為千元比廣告費為千元時多賣出件．
（Ⅰ）試寫出銷售量與的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)時，廠家應(yīng)生產(chǎn)多少件這種產(chǎn)品，做幾千元的廣告，才能獲利最大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列，滿足.
（1）若是等差數(shù)列，求證：為等差數(shù)列；
（2）若，求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足－－2＝0，n∈N﹡，且是a2，a4的等差中項．
（1）求數(shù)列{}的通項公式；
（2）若＝，＝b1＋b2＋…＋，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)同時滿足：①不等式 的解集有且只有一個元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立 設(shè)數(shù)列的前項和為
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設(shè)各項均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個數(shù)稱為這個數(shù)列的變號數(shù)，令（為正整數(shù)），求數(shù)列的變號數(shù)

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