Question

12．在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a_n+1²=a_na_n+2（?n∈N^*），已知a₁=$\frac{1}{4}$，a₈=8a₅
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=log₂a_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$}的最小項(xiàng)及其值．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1²=a_na_n+2（?n∈N^*），可知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，又a₈=8a₅，可求得其公比，而a₁=$\frac{1}{4}$，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-3，可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$\frac{n（n-5）}{2}$，利用基本不等式即可求得數(shù)列{$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$}的最小項(xiàng)及其值．

解答 解：（1）∵在正項(xiàng)數(shù)列{a_n}中，a_n+1²=a_na_n+2（?n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，又a₈=8a₅，
∴公比q³=8，q=2，∵a₁=$\frac{1}{4}$，
∴a_n=$\frac{1}{4}$•2^n-1=2^n-3；
（2）由（1）知b_n=log₂a_n=n-3，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{（-2+n-3）n}{2}$=$\frac{n（n-5）}{2}$，
∵$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$=$\frac{n-5}{2}$+$\frac{5}{2}$+$\frac{8}{n}$=$\frac{1}{2}$（n+$\frac{16}{n}$）≥4（當(dāng)且僅當(dāng)n=$\frac{16}{n}$，即n=4時(shí)取“=”），
∴數(shù)列{$\frac{{S}_{n}+\frac{5n}{2}+8}{n}$}的最小項(xiàng)為第四項(xiàng)，其值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的性質(zhì)與通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查基本不等式在數(shù)列中的運(yùn)用，屬于中檔題．