Question

18．直線y=x+a與拋物線y²=5ax（a＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，C（0，2a），給出下列4個(gè)命題：
p₁：△ABC的重心在定直線7x-3y=0上，p₂：|AB|$\sqrt{3-a}$的最大值為2$\sqrt{10}$；
p₃：△ABC的重心在定直線 3x-7y=0上；p₄：|AB|$\sqrt{3-a}$的最大值為2$\sqrt{5}$．
其中的真命題為（　�。�

• A． p₁，p₂
• B． p₁，p₄
• C． p₂，p₃
• D． p₃，p₄

Answer 1

分析 聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及重心坐標(biāo)公式求出△ABC的重心坐標(biāo)，可知p₁為真命題，再由弦長(zhǎng)公式求得|AB|，代入|AB|$\sqrt{3-a}$利用導(dǎo)數(shù)求其最大值可知命題p₂是真命題，p₄是假命題，則答案可求．

解答 解：如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+a}\\{{y}^{2}=5ax}\end{array}\right.$，得x²-3ax+a²=0．
△=9a²-4a²=5a²＞0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=3a，${x}_{1}{x}_{2}={a}^{2}$．
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2a=5a，
∵C（0，2a），由重心坐標(biāo)公式可得：△ABC的重心坐標(biāo)為（$\frac{3a+0}{3}$，$\frac{5a+2a}{3}$）=（a，$\frac{7a}{3}$）．
把點(diǎn)（a，$\frac{7a}{3}$）代入7x-3y=0成立，代入 3x-7y=0不成立，
∴命題p₁是真命題，p₃是假命題；
|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•\sqrt{9{a}^{2}-4{a}^{2}}=\sqrt{10}|a|=\sqrt{10}a$．
∴|AB|$\sqrt{3-a}$=$\sqrt{10}•\sqrt{3{a}^{2}-{a}^{3}}$，
令g（a）=-a³+3a²（a＞0），則g′（a）=-3a²+6a=-3a（a-2），
當(dāng)a∈（0，2）時(shí)，g′（a）＞0，當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，g′（a）＜0，
∴g（a）在（0，2）上為增函數(shù)，在（2，+∞）上為減函數(shù)，
則g（a）_max=g（2）=4，
∴|AB|$\sqrt{3-a}$的最大值為$2\sqrt{10}$，
∴命題p₂是真命題，p₄是假命題．
∴真命題是p₁，p₂ ．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．