Question

13．已知數列{a_n}滿足：$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}×{a}_{n+1}}$，數列{b_n}滿足：S_n=（2ⁿ-1）b_n，其中 S_n為數列{b_n}的前n項和，且a₁=b₁=1．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n•b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a_n+1-a_n=2，又a₁=1，由等差數列的定義和通項公式即可得到數列{a_n}的通項；再將n換為n-1，相減，結合等比數列的定義和通項公式，即可得到所求數列{b_n}的通項；
（2）求得a_n•b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，運用數列的求和方法：錯位相減法，結合等比數列的求和公式，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）由$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}×{a}_{n+1}}$，有a_n+1-a_n=2，又a₁=1，
所以數列{a_n}是一個首項為1，公差為2的等差數列，故a_n=2n-1．
又S_n=（2ⁿ-1）b_n，所以n≥2時，S_n-1=（2^n-1-1）b_n-1
兩式相減有：b_n=（2ⁿ-1）b_n-（2^n-1-1）b^n-1，即b_n=$\frac{1}{2}$b_n-1（n≥2），
所以數列{b_n}是一個首項為1，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，
故b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1．
（2）因為a_n•b_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
故T_n=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{3}{{2}^{1}}$+$\frac{5}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n-1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
兩式相減有：$\frac{1}{2}$T_n=1+2（$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$
=1+2（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．
從而：T_n=6-$\frac{2n+3}{{2}^{n-1}}$．

點評 本題考查等差數列和等比數列的定義及通項公式的應用，考查數列的求和方法：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．