Question

4．已知集合A={x|y=lg（-x²+5x+6）}，集合B={x|x²-4x+4-a²≥0}，命題p：x∈A，命題q：x∈B．
（I）若A∩B≠∅，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若￢q是p的充分條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求出關于A、B的不等式，根據(jù)交集的運算求出a的范圍即可；（Ⅱ）根據(jù)￢q是p的充分條件，得到關于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）A={x|y=lg（-x²+5x+6）}={x|-x²+5x+6＞0}={x|-1＜x＜6}，
B={x|x²-4x+4-a²≥0}，
（1）a＞0時，B={x|x≥2+a或x≤2-a}，
若A∩B≠∅，則必須滿足2+a＜6或2-a＞-1，解得：a＜4，
故a的范圍是（0，4）；
（2）a=0時，符合題意；
（3）a＜0時，B={x|x≥2-a或x≤2+a}，
若A∩B≠∅，則必須滿足2-a＜6或2+a＞-1，解得：a＞-4，
綜上a的范圍是（-4，4）；
（Ⅱ）￢q：2-a＜x＜2+a，
∵￢q是p的充分條件，
∴（2-a，2+a）⊆（-1，6），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+a≤6}\\{2-a≥-1}\end{array}\right.$，解得：a≤3，
故a的范圍是（0，3]．

點評 本題考查了充分必要條件，考查解不等式組問題，是一道中檔題．