Question

9．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=（x+1）e^x則對任意的m∈R，函數(shù)F（x）=f（f（x））-m的零點個數(shù)至多有（　�。�

• A． 3個
• B． 4個
• C． 6個
• D． 9個

Answer 1

分析 當x＜0時，f（x）=（x+1）e^x，求出f′（x），判斷x∈（-∞，-2），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（-2，0）函數(shù)是增函數(shù)，f（-2）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，f（-1）=0，且x→0時，f（x）→1，利用函數(shù)是奇函數(shù)，f（0）=0，畫出函數(shù)的圖象利用換元法，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的零點個數(shù)即可．

解答 解：當x＜0時，f（x）=（x+1）e^x，可得f′（x）=（x+2）e^x，可知x∈（-∞，-2），函數(shù)是減函數(shù)，x∈（-2，0）函數(shù)是增函數(shù)，
f（-2）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$，f（-1）=0，且x→0時，f（x）→1，又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（0）=0，而x∈（-∞，-1）時，f（x）＜0，
所以函數(shù)的圖象如圖：令t=f（x）則f（t）=m，
由圖象可知：當t∈（-1，1）時，方程f（x）=t至多3個根，當t∉（-1，1）時，方程沒有實數(shù)根，
而對于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一個根，t∈（-1，1），
從而函數(shù)F（x）=f（f（x））-m的零點個數(shù)至多有3個．
故選：A．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及分類討論思想的應(yīng)用．