Question

【題目】如圖1，在平行四邊形中，，，，以對(duì)角線(xiàn)為折痕把折起，使點(diǎn)到圖2所示點(diǎn)的位置，使得.

（Ⅰ）求證:平面平面；

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析； （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在圖1中，求解三角形可得AB⊥BD，同理CD⊥BD，圖2中，在△PAD中，求解三角形可得AD⊥PD，結(jié)合PD⊥BD，得到PD⊥平面ABD，進(jìn)一步得到PD⊥AB，
又AB⊥BD，可得AB⊥平面PBD，由面面垂直的判定可得平面PAB⊥平面PBD；
（Ⅱ）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DP所在直線(xiàn)為y，z軸，過(guò)點(diǎn)D在平面ABD內(nèi)平行于AB的直線(xiàn)為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PAD與平面PAB的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B-PA-D的余弦值．

（Ⅰ）圖1中，，

由余弦定理得，

∴，∴，

即，

同理.

圖2中，在中，，

∴，∴，即

又，∴平面.

平面，∴，

又.∴平面，平面，

∴平面平面.

(Ⅱ)如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，

過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)平行于的直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則，

設(shè)平面的法向量為

由 得 令，得平面的一個(gè)法向量為

同理可得平面的一個(gè)法向量

∴.

又二面角的平面角為銳角，

所以，二面角的余弦值為.