Question

【題目】已知橢圓與直線有且只有一個交點，點P為橢圓C上任一點，，.若的最小值為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設直線與橢圓C交于不同兩點A，B，點O為坐標原點，且，當的面積S最大時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設點，利用向量的坐標運算研究的最小值，建立方程，求出的值，即可得橢圓C的標準方程；

（2）設，，，將直線與橢圓C聯(lián)立，可得和，求出點O到直線l的距離，即可求出的面積S的表達式，利用基本不等式，求面積S的最大值，根據(jù)最大值的成立條件和前面求出的和，可得點M的軌跡方程，進而可得的范圍，將轉化為，利用導數(shù)研究單調(diào)性即可求出的取值范圍.

解：（1）設點，由題意知，，則

，

當時，取得最小值，即，

，故橢圓C的標準方程為；

（2）設，，，則

由得，

，，

點O到直線l的距離，

，

S取得最大值，當且僅當即，①

此時，，

即，代入①式整理得，，

即點M的軌跡為橢圓，

且點，為橢圓的左、右焦點，即，

記，則，

從而，則，

令可得，即在T在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

且，，

故T的取值范圍為.