【題目】已知直線的極坐標(biāo)方程為
,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)).
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線
的普通方程;
(2)若過(guò)且與直線
垂直的直線
與曲線
相交于
、
兩點(diǎn),求
.
【答案】(1),
;(2)
【解析】
(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化,參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化即可得直線的直角坐標(biāo)方程和曲線
的普通方程;
(2)根據(jù)直線與直線
垂直且過(guò)
,可得直線
的參數(shù)方程.將直線
的參數(shù)方程與曲線
聯(lián)立,結(jié)合韋達(dá)定理及參數(shù)方程的幾何意義即可求得
.
(1)由直線極坐標(biāo)方程為
,即
,
根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式,可得直線直角坐標(biāo)方程:
,
由曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),則
,
整理得橢圓的普通方程為.
(2)由已知直線與
垂直,所以直線
的傾斜角為
,
直線的參數(shù)方程為
,即
(
為參數(shù)),
把直線的參數(shù)方程
代入
化簡(jiǎn)得
設(shè),
是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,則有
又直線過(guò)點(diǎn)
故由上式及的幾何意義得
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓與直線
有且只有一個(gè)交點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上任一點(diǎn),
,
.若
的最小值為
.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),且
,當(dāng)
的面積S最大時(shí),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念已經(jīng)深入人心,這將推動(dòng)新能源汽車產(chǎn)業(yè)的迅速發(fā)展.下表是近幾年我國(guó)某地區(qū)新能源乘用車的年銷售量與年份的統(tǒng)計(jì)表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
銷量(萬(wàn)臺(tái)) | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
某機(jī)構(gòu)調(diào)查了該地區(qū)30位購(gòu)車車主的性別與購(gòu)車種類情況,得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:
購(gòu)置傳統(tǒng)燃油車 | 購(gòu)置新能源車 | 總計(jì) | |
男性車主 | 6 | 24 | |
女性車主 | 2 | ||
總計(jì) | 30 |
(1)求新能源乘用車的銷量關(guān)于年份
的線性相關(guān)系數(shù)
,并判斷
與
是否線性相關(guān);
(2)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有
的把握認(rèn)為購(gòu)車車主是否購(gòu)置新能源乘用車與性別有關(guān);
(3)若以這30名購(gòu)車車主中購(gòu)置新能源乘用車的車主性別比例作為該地區(qū)購(gòu)置新能源乘用車的車主性別比例,從該地區(qū)購(gòu)置新能源乘用車的車主中隨機(jī)選取50人,記選到女性車主的人數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望與方差.
參考公式:,
,其中
.
,若
,則可判斷
與
線性相關(guān).
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:(
)的焦距為4,其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn),T為直線上任意一點(diǎn),過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P,Q.
(i)證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(ii)當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)T的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在上的函數(shù)
的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線,且在任意區(qū)間上
都不是常值函數(shù).設(shè)
,其中分點(diǎn)
將區(qū)間
任意劃分成
個(gè)小區(qū)間
,記
,稱為
關(guān)于區(qū)間
的
階劃分“落差總和”.
當(dāng)取得最大值且
取得最小值
時(shí),稱
存在“最佳劃分”
.
(1)已知,求
的最大值
;
(2)已知,求證:
在
上存在“最佳劃分”
的充要條件是
在
上單調(diào)遞增.
(3)若是偶函數(shù)且存在“最佳劃分”
,求證:
是偶數(shù),且
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)對(duì)任意的,
,
,恒有
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線的距離與到點(diǎn)
的距離之比為
.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡;
(2)直線與曲線
交于不同的兩點(diǎn)A,B(A,B在
軸的上方)
:
①當(dāng)A為橢圓與軸的正半軸的交點(diǎn)時(shí),求直線
的方程;
②對(duì)于動(dòng)直線,是否存在一個(gè)定點(diǎn),無(wú)論
如何變化,直線
總經(jīng)過(guò)此定點(diǎn)?若存在,求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“公平正義”是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要特征,是社會(huì)主義法治理念的價(jià)值追求.“考試”作為一種公平公正選拔人才的有效途徑,正被廣泛采用.每次考試過(guò)后,考生最關(guān)心的問(wèn)題是:自己的考試名次是多少?自已能否被錄取?能獲得什么樣的職位?
某單位準(zhǔn)備通過(guò)考試(按照高分優(yōu)先錄取的原則)錄用名,其中
個(gè)高薪職位和
個(gè)普薪職位.實(shí)際報(bào)名人數(shù)為
名,考試滿分為
分. 考試后對(duì)部分考生考試成績(jī)進(jìn)行抽樣分析,得到頻率分布直方圖如下:
試結(jié)合此頻率分布直方圖估計(jì):
(1)此次考試的中位數(shù)是多少分(保留為整數(shù))?
(2)若考生甲的成績(jī)?yōu)?/span>280分,能否被錄取?若能被錄取,能否獲得高薪職位?(分?jǐn)?shù)精確到個(gè)位,概率精確到千分位)
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