Question

8．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{1}{{x}^{n}}$，x∈（0，+∞），且f（2）=$\frac{3}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷函數(shù)f（x）在其定義域（0，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）求f（x）的閉區(qū)間[2，5]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（2）=$\frac{3}{2}$，求出n的值，求出函數(shù)的解析式即可；
（2）判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明按照取值、作差、變形定號(hào)、下結(jié)論步驟即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由f（2）=$\frac{3}{2}$，得：2-$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}$，解得：n=1，
故f（x）=x-$\frac{1}{x}$；
（2）判斷：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
證明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）
∴x₁-x₂＜0，1+$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由（2）f（x）在[2，5]遞增，
故f（x）_min=f（2）=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
f（x）_max=f（5）=5-$\frac{1}{5}$=$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查求函數(shù)的解析式問題，是一道中檔題．