Question

9．橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，已知A，B分別是橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF₁⊥x軸，PF₂∥AB，則此橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖所示，把x=-c代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得P$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，由PF₂∥AB，可得k_AB=${k}_{P{F}_{2}}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，把x=-c代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）．
則$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，解得y=±$\frac{^{2}}{a}$．
取P$（-c，\frac{^{2}}{a}）$，又A（0，b），B（a，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴k_AB=-$\frac{a}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{-c-c}$=-$\frac{^{2}}{2ac}$．
∵PF₂∥AB，∴-$\frac{a}$=-$\frac{^{2}}{2ac}$，化為：b=2c．
∴4c²=b²=a²-c²，即a²=5c²，解得a=$\sqrt{5}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行線與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．