Question

11．已知下列數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（1）S_n=3ⁿ-2；
（2）S_n=n²a_n（n≥2），a₁=1．

Answer 1

分析 （1）首先求出n=1時(shí)a₁的值，然后求出n≥2時(shí)a_n的數(shù)列表達(dá)式，最后驗(yàn)證a₁是否滿足所求遞推式，于是即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用a_n+1=S_n+1-S_n，整理出a_n的遞推式，進(jìn)而用疊乘法求得a_n．

解答 解：（1）由S_n=3ⁿ-2，得a₁=S₁=3-2=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={3}^{n}-2-（{3}^{n-1}-2）$=2•3^n-1，
已知n=1時(shí)上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由S_n=n²a_n（n≥2），
得${S}_{n+1}=（n+1）^{2}{a}_{n+1}$，
兩式作差得：a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n，
∴n²a_n=n（n+2）a_n+1，即na_n=（n+2）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$（n≥2），即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥3），
又由S_n=n²a_n（n≥2），a₁=1，得a₁+a₂=4a₂，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n-1}{n+1}•\frac{n-2}{n}…\frac{1}{3}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=1，∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}•\frac{n-2}{n}…\frac{1}{3}•1$=$\frac{2}{n（n+1）}$．
即a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列遞推式的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用a_n=S_n-S_n-1進(jìn)行解答，考查了用疊乘法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．