Question

13．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)S為△ABC的面積，滿足S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）．
（1）求角C的弧度數(shù)；
（2）若c=$\sqrt{3}$，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （1）S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{2}absinC$，即可求角C的弧度數(shù)；
（2）若c=$\sqrt{3}$，用角表示a+b，即可求a+b的最大值．

解答 解：（1）S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（a²+b²-c²）=$\frac{1}{2}absinC$，
∴tanC=$\sqrt{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）若c=$\sqrt{3}$，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴a=2sinA，b=2sinB，
∴a+b=2sinA+2sinB=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$時(shí)，a+b的最大值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．