Question

3．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的$\sqrt{2}$倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)，且SD⊥PC．
（1）求二面角P-AC-D的大��；
（2）在側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)SO，OP，設(shè)SD的中點(diǎn)為Q，連結(jié)BQ，△SBD為等邊三角形，推導(dǎo)出∠POD是二面角P-AC-D的平面角，由此能求出二面角P-AC-D的大�。�
（2）在平面SCD內(nèi)作QE∥CP，則QE∥面PAC，從而B(niǎo)Q∥面PAC，進(jìn)而面EBQ∥面PAC，由此能求出存在點(diǎn)E且SE：EC=2：1，使得BE∥面PAC．

解答 解：（1）連結(jié)BD，交AC于點(diǎn)O，連結(jié)SO，OP，
∵AC⊥平面SBD，∴OP⊥SD，
設(shè)SD的中點(diǎn)為Q，
連結(jié)BQ，△SBD為等邊三角形，∴BQ⊥SD，
∴P為QD的中點(diǎn)，∴P為SD的四等分點(diǎn)，
PD=$\frac{1}{4}$SD，OD=$\frac{1}{2}$BD，
又∵AC⊥OP，AC⊥DO，
∴∠POD是二面角P-AC-D的平面角，
sin∠POD=$\frac{PD}{OD}$=$\frac{\frac{1}{4}SD}{\frac{1}{2}BD}$=$\frac{1}{2}$，
由圖可知二面角P-AC-D為銳二面角，
∴二面角P-AC-D的大小為30°．
（2）存在點(diǎn)E且SE：EC=2：1，使得BE∥面PAC．
證明如下：
在平面SCD內(nèi)作QE∥CP，∴QE∥面PAC，
又BQ∥OP，∴BQ∥面PAC，
又QE∩BQ=Q，∴面EBQ∥面PAC，
∵BE?面EBQ，∴BE∥面PAC，
∴SE：EC=SQ：QP=2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的大小的求法，考查滿足線面平行的點(diǎn)是否存在的求法與判斷，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．