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17.已知f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x,求a,b的值;
(Ⅱ)若f(x)≤x2+x恒成立,求ab的最大值.

分析 (I)推導(dǎo)出fx=aax+b+2x,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組,能求出a,b的值.
(II)設(shè)g(x)=f(x)-(x2+x),則g(x)=ln(ax+b)-x,依題意g(x)≤0恒成立,根a<0,a>0兩種情況分類討論,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出ab的最大值.

解答 解:(I)∵f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0),
fx=aax+b+2x
∵曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x,
{f1=aa+b+2=1f1=lna+b+1=1,
解得,a=-1,b=2;
(II)設(shè)g(x)=f(x)-(x2+x),則g(x)=ln(ax+b)-x,依題意g(x)≤0恒成立,
①a<0時,g(x)定義域({-∞,-\frac{a}}),
取x0使得lnax0+b=a+1,得{x_0}=\frac{{{e^{-\frac{a}}}-b}}{a}<-\frac{a},
g({x_0})=ln({a{x_0}+b})-{x_0}>ln({a{x_0}+b})-({-\frac{a}})=({-\frac{a}+1})+\frac{a}=1>0
與g(x)≤0矛盾,∴a<0不符合要求,
②a>0時,gx=aax+b1=axabaax+bax+b0,
當(dāng)axaba時,g'(x)>0;當(dāng)xaba時,g'(x)<0,
∴g(x)在區(qū)間aaba上為增函數(shù),在區(qū)間aba+上為減函數(shù),
∴g(x)在其定義域a+上有最大值,最大值為gaba
由g(x)≤0,得gaba=lnaaba0,∴b≤a-alna,∴ab≤a2-a2lna,
設(shè)h(a)=a2-a2lna,則h'(a)=2a-(2alna+a)=a(1-2lna),
0ae時,ha0ae時,h'(a)<0,
∴h(a)在區(qū)間0e上為增函數(shù),在區(qū)間e+上為減函數(shù),
∴h(a)的最大值為he=ee2=e2
∴當(dāng)a=eb=e2時,ab取最大值為e2,
綜合①,②得,ab最大值為e2

點評 本題考查實數(shù)值的求法,考查兩數(shù)積最大值的求法,考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想,是中檔題.

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