分析 (I)推導(dǎo)出f′(x)=aax+b+2x,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程組,能求出a,b的值.
(II)設(shè)g(x)=f(x)-(x2+x),則g(x)=ln(ax+b)-x,依題意g(x)≤0恒成立,根a<0,a>0兩種情況分類討論,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出ab的最大值.
解答 解:(I)∵f(x)=ln(ax+b)+x2(a≠0),
∴f′(x)=aax+b+2x,
∵曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=x,
∴{f′(1)=aa+b+2=1f(1)=ln(a+b)+1=1,
解得,a=-1,b=2;
(II)設(shè)g(x)=f(x)-(x2+x),則g(x)=ln(ax+b)-x,依題意g(x)≤0恒成立,
①a<0時,g(x)定義域({-∞,-\frac{a}}),
取x0使得ln(ax0+b)=−a+1,得{x_0}=\frac{{{e^{-\frac{a}}}-b}}{a}<-\frac{a},
則g({x_0})=ln({a{x_0}+b})-{x_0}>ln({a{x_0}+b})-({-\frac{a}})=({-\frac{a}+1})+\frac{a}=1>0
與g(x)≤0矛盾,∴a<0不符合要求,
②a>0時,g′(x)=aax+b−1=−a(x−a−ba)ax+b(ax+b>0),
當(dāng)−a<x<a−ba時,g'(x)>0;當(dāng)x>a−ba時,g'(x)<0,
∴g(x)在區(qū)間(−a,a−ba)上為增函數(shù),在區(qū)間(a−ba,+∞)上為減函數(shù),
∴g(x)在其定義域(−a,+∞)上有最大值,最大值為g(a−ba),
由g(x)≤0,得g(a−ba)=lna−a−ba≤0,∴b≤a-alna,∴ab≤a2-a2lna,
設(shè)h(a)=a2-a2lna,則h'(a)=2a-(2alna+a)=a(1-2lna),
∴0<a<√e時,h′(a)>0;a>√e時,h'(a)<0,
∴h(a)在區(qū)間(0,√e)上為增函數(shù),在區(qū)間(√e,+∞)上為減函數(shù),
∴h(a)的最大值為h(√e)=e−e2=e2,
∴當(dāng)a=√e,b=√e2時,ab取最大值為e2,
綜合①,②得,ab最大值為e2.
點評 本題考查實數(shù)值的求法,考查兩數(shù)積最大值的求法,考查導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、構(gòu)造法、函數(shù)單調(diào)性等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想,是中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 112 | B. | 18 | C. | 38 | D. | 23 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [-1,2] | B. | [-1,0)∪(1,2] | C. | [0,1] | D. | (-∞,-1)∪(2,+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -229 | B. | -29 | C. | -73 | D. | -53 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | ![]() | B. | ![]() | C. | ![]() | D. | ![]() |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | [0,√33] | B. | [−√33,√33] | C. | [−12,12] | D. | [0,12] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (\frac{5}{2},+∞) | B. | (\frac{3}{4},+∞) | C. | (2,+∞) | D. | (\frac{3}{2},+∞) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2016-2017學(xué)年江西省高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知,
,則集合
中元素的個數(shù)為_______
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