Question

4．求證雙曲線$y=\frac{1}{x}$上任意一點(diǎn)P處的切線與與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為定值．

Answer 1

分析 求得切線方程，分別令x=0，求得B點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)y=0時(shí)，求得A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式，即可求得與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為定值．

解答 解：證明：設(shè)曲線$y=\frac{1}{x}$上任意一點(diǎn)為P（x₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$），∵y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴在點(diǎn)P處切線的斜率k=-$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$，
∴在P點(diǎn)處的切線方程為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{{x}_{0}^{2}}$（x-x₀）．
令x=0，得y=$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{2}{{x}_{0}}$，則B（0，$\frac{2}{{x}_{0}}$）
令y=0，得x=x₀+x₀²×$\frac{1}{{x}_{0}}$=2x₀，C（2x₀，0），
∴S_△=$\frac{1}{2}$|x|•|y|=2．
故三角形面積為定值2．
過P處的切線與與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為定值2．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．