Question

20．拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，若$\overrightarrow{FP}$在$\overrightarrow{FM}$方向上的投影為$\sqrt{2}$，則△FPM的外接圓的方程為x²+（y-1）²=2．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用拋物線的定義可得△PMF為等腰三角形，P在MF上的投影為中點(diǎn)，由題意結(jié)合向量的投影概念，設(shè)出P的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷三角形的形狀，求得圓心和半徑，即可得到所求方程．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1，
由拋物線的定義可得|PF|=|PM|，
即△PMF為等腰三角形，P在MF上的投影為中點(diǎn)，
由$\overrightarrow{FP}$在$\overrightarrow{FM}$方向上的投影為$\sqrt{2}$，可得|MF|=2$\sqrt{2}$，
設(shè)P（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），可得M（-1，m），
即有$\sqrt{（1+1）^{2}+{m}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
解得m=2，
即有P（1，2），M（-1，2），
三角形PFM為等腰直角三角形，∠MPF為直角，
三角形PFM的外接圓的圓心為MF的中點(diǎn)（0，1），
半徑為$\sqrt{2}$，
可得圓的半徑為x²+（y-1）²=2，
故答案為：x²+（y-1）²=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，向量的投影，圓的方程的求法，注意運(yùn)用幾何方法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．