分析 (Ⅰ)由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=x\\ x-2y-3=0\end{array}\right.$得拋物線與直線的交點為P,Q,根據(jù)定積分的即可求出相對應(yīng)的面積,方法一,選取積分變量為x,方法二,選取積分變量為y
(Ⅱ)設(shè)點M的坐標(biāo)為(a,b),要使△MPQ的面積最大即使點M到直線x-2y-3=0的距離最大,故過點M的切線與直線x-2y-3=0平行,利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率,即可求出a的值,問題得以解決.
解答 解 (Ⅰ)方法一 由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=x\\ x-2y-3=0\end{array}\right.$得拋物線與直線的交點為P(1,-1),Q(9,3)(如圖).
∴S=${∫}_{0}^{1}$[$\sqrt{x}$-(-$\sqrt{x}$)]dx+${∫}_{1}^{9}$($\sqrt{x}$-$\frac{x-3}{2}$)dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{9}$($\sqrt{x}$-$\frac{x}{2}$+$\frac{3}{2}$)dx
=$\frac{4}{3}$$\sqrt{x^3}$|${\;}_{0}^{1}$+($\frac{2}{3}$x${\;}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{x^2}{4}$+$\frac{3}{2}x$|${\;}_{1}^{9}$=$\frac{4}{3}$+$\frac{28}{3}$=$\frac{32}{3}$.
方法二 若選取積分變量為y,則兩個函數(shù)分別為x=y2,x=2y+3.由方法一知上限為3,下限為-1.
∴S=${∫}_{-1}^{3}$(2y+3-y2)dy=(y2+3y-$\frac{1}{3}$y3)|${\;}_{-1}^{3}$=(9+9-9)-(1-3+$\frac{1}{3}$)=$\frac{32}{3}$.
(Ⅱ)設(shè)點M的坐標(biāo)為(a,b),要使△MPQ的面積最大即使點M到直線x-2y-3=0的距離最大,
故過點M的切線與直線x-2y-3=0平行,
故過點M的切線斜率為k=$\frac{1}{2}$,
∵y2=x,
∴y=$\sqrt{x}$
令y=$\sqrt{x}$,
∴y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$
∴k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$=$\frac{1}{2}$,
解得a=1,
∴b=1,
∴M點的坐標(biāo)為(1,1)時,△PAB的面積最大.
點評 本題考查了定積分的有關(guān)計算和拋物線的簡單性質(zhì),以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.
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A. | b<a<c | B. | a<b<c | C. | b<c<a | D. | c<b<a |
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A. | (-$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$) | B. | (-$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{6}$) | C. | ($\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$) | D. | ($\frac{π}{3}$,$\frac{5π}{6}$) |
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