分析 (Ⅰ)由{y2=xx−2y−3=0得拋物線與直線的交點為P,Q,根據(jù)定積分的即可求出相對應(yīng)的面積,方法一,選取積分變量為x,方法二,選取積分變量為y
(Ⅱ)設(shè)點M的坐標為(a,b),要使△MPQ的面積最大即使點M到直線x-2y-3=0的距離最大,故過點M的切線與直線x-2y-3=0平行,利用導數(shù)求出切線的斜率,即可求出a的值,問題得以解決.
解答 解 (Ⅰ)方法一 由{y2=xx−2y−3=0得拋物線與直線的交點為P(1,-1),Q(9,3)(如圖).
∴S=∫10[√x-(-√x)]dx+∫91(√x-x−32)dx=2∫10√xdx+∫91(√x-x2+32)dx
=43√x3|10+(23x32-x24+32x|91=43+283=323.
方法二 若選取積分變量為y,則兩個函數(shù)分別為x=y2,x=2y+3.由方法一知上限為3,下限為-1.
∴S=∫3−1(2y+3-y2)dy=(y2+3y-13y3)|3−1=(9+9-9)-(1-3+13)=323.
(Ⅱ)設(shè)點M的坐標為(a,b),要使△MPQ的面積最大即使點M到直線x-2y-3=0的距離最大,
故過點M的切線與直線x-2y-3=0平行,
故過點M的切線斜率為k=12,
∵y2=x,
∴y=√x
令y=√x,
∴y′=12√x
∴k=12√a=12,
解得a=1,
∴b=1,
∴M點的坐標為(1,1)時,△PAB的面積最大.
點評 本題考查了定積分的有關(guān)計算和拋物線的簡單性質(zhì),以及導數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | b<a<c | B. | a<b<c | C. | b<c<a | D. | c<b<a |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-\frac{π}{6},\frac{π}{3}) | B. | (-\frac{π}{3},\frac{π}{6}) | C. | (\frac{π}{6},\frac{2π}{3}) | D. | (\frac{π}{3},\frac{5π}{6}) |
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