Question

16．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1．
（1）求證：BD₁⊥平面ACB₁；
（2）求直線BA₁與平面A₁C₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC、BD，推導出BD₁⊥AC，BD₁⊥AB₁，由此能證明BD₁⊥平面ACB₁，
（2）由BB₁⊥平面A₁C₁D₁，知∠BA₁B₁是直線BA₁與平面A₁C₁D₁所成角，由此能求出直線BA₁與平面A₁C₁D₁所成角的正弦值．

解答 證明：（1）連結(jié)AC、BD，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，
∴DD₁⊥AC，四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DD₁∩BD=D，∴AC⊥平面BDD₁，∴BD₁⊥AC，
同理，得BD₁⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BD₁⊥平面ACB₁，
解：（2）∵BB₁⊥平面A₁C₁D₁，
∴∠BA₁B₁是直線BA₁與平面A₁C₁D₁所成角，
∵A₁B₁=BB₁=1，A₁B₁⊥BB₁，∴${A}_{1}B=\sqrt{2}$，
∴sin∠BA₁B₁=$\frac{{A}_{1}{{B}_{1}}_{\;}^{\;}}{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴直線BA₁與平面A₁C₁D₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．