Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第二項，第五項，第十四項分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項，第三項，第四項．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）設數(shù)列{c_n}對任意正整數(shù)n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+\frac{c_3}{b_3}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₄的值．

Answer 1

分析 （1）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則1+d=b₁q，1+4d=$_{1}{q}^{2}$，1+13d=b₁q³，d＞0．聯(lián)立解出即可得出．（2）數(shù)列{c_n}對任意正整數(shù)n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+\frac{c_3}{b_3}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，n=1時，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$=a₂，解得c₁．n≥2時，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}+\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{_{n-1}}$=a_n，相減可得$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=d，可得c_n=2×3^n-1，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等比數(shù)列{b_n}的公比為q，則1+d=b₁q，1+4d=$_{1}{q}^{2}$，1+13d=b₁q³，d＞0．
聯(lián)立解得：d=2，q=3，b₁=1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
b_n=3^n-1．
（2）數(shù)列{c_n}對任意正整數(shù)n，均有$\frac{c_1}{b_1}+\frac{c_2}{b_2}+\frac{c_3}{b_3}+…+\frac{c_n}{b_n}={a_{n+1}}$，
n=1時，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}$=a₂，解得c₁=3．
n≥2時，$\frac{{c}_{1}}{_{1}}+\frac{{c}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{_{n-1}}$=a_n，
∴$\frac{{c}_{n}}{_{n}}$=d，可得c_n=2×3^n-1，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₀₄=$2×\frac{{3}^{2004}-1}{3-1}$=3²⁰⁰⁴-1．

點評 本題考查了數(shù)列遞推關系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．