Question

9．如圖，在三棱錐A-BCD中，E是AC中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且2AF=FD，若三棱錐A-BEF的體積是1，則四棱錐B-ECDF的體積為5．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，則V_A-BEF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AE×AF×sin∠EAF）$=1，從而V_B-ACD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×2AE×3AF×sin∠EAF）$=6，四棱錐B-ECDF的體積V=V_B-ACD-V_A-AEF，由此能求出結(jié)果．

解答 解：設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h，
∵在三棱錐A-BCD中，E是AC中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且2AF=FD，三棱錐A-BEF的體積是1，
∴V_A-BEF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△AEF}$=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AE×AF×sin∠EAF）$=1，
∴V_B-ACD=$\frac{1}{3}×h×{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AC×AD×sin∠CAD）$
=$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×2AE×3AF×sin∠EAF）$=6×[$\frac{1}{3}×h×（\frac{1}{2}×AE×AF×sin∠EAF）$]=6．
∴四棱錐B-ECDF的體積V=V_B-ACD-V_A-BEF=6-1=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐的體積的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．