Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}中，已知對(duì)任意自然數(shù)n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$（4ⁿ-1）
• B． $\frac{1}{3}$（2ⁿ-1）
• C． 4ⁿ-1
• D． $\frac{1}{3}$（4ⁿ+8）

Answer 1

分析 由題意求得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，則{a_n²}是從第二項(xiàng)起4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得答案．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，可得a₁=2¹=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=（a₁+a₂+…+a_n）-（a₁+a₂+…+a_n-1）
=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
當(dāng)n=1時(shí)上式不成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2}&{當(dāng)n=1}\\{{2}^{n-1}}&{當(dāng)n≥2}\end{array}\right.$，
當(dāng)n≥2，∴$\frac{{a}_{n+1}^{2}}{{a}_{n}^{2}}$=$\frac{{2}^{2n}}{{2}^{2n-2}}$=4，
∴{a_n²}是從第二項(xiàng)起4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，
當(dāng)n≥2時(shí)，a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=4+$\frac{4-{4}^{n}}{1-4}$=$\frac{1}{3}$（4ⁿ+8）．
當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立，
∴a₁²+a₂²+a₃²…+a_n²=$\frac{1}{3}$（4ⁿ+8）．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列前n項(xiàng)和的應(yīng)用，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查分類(lèi)討論思想，屬于中檔題．