Question

6．如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD．為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC=15°，沿山坡前進25m到達B處，又測得∠DBC=45°．根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算可得cosθ=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，則cosθ=sin（π-∠BCD）=sin∠BCD．

解答 解：∵∠DAC=15°，∠DBC=45°，∴∠ADB=30°，
在△ABD中，由正弦定理得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{BD}{sin∠BAD}$，即$\frac{25}{\frac{1}{2}}=\frac{BD}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$，
∴BD=25×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
在△BCD中，由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，即$\frac{25}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{25（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}{2sin∠BCD}$，
∴sin∠BCD=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
∴cosθ=sin（π-∠BCD）=sin∠BCD=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$

點評 本題考查了正弦定理，解三角形的應用，關鍵是正確建模，屬于中檔題．