Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，若

sinA+sinB

cosA+cosB

=2，且a+b=12；
（1）求tan（A+B）和sinC的值；
（2）求△ABC面積的最大值及取得最大值時(shí)a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由和差化積公式和二倍角的正切公式，計(jì)算即可得到tan（A+B），再由誘導(dǎo)公式以及同角公式即可得到sinC；
（2）運(yùn)用基本不等式，可得ab的最大值，由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答： 解：（1）若

sinA+sinB

cosA+cosB

=2，
則

2sin A+B 2 cos A-B 2

2cos A+B 2 cos A-B 2

=2，即tan

A+B

2

=2，
則tan（A+B）=

2tan A+B 2

1-tan2 A+B 2

=

2×2

1-22

=-

4

3

，
由tanC=

4

3

，即

sinC

cosC

=

4

3

，sin²C+cos²C=1，
可得sinC=

4

5

；
（2）由a+b=12，a+b≥2

ab

，
則ab≤36，
則有三角形ABC的面積S=

1

2

absinC≤

1

2

×36×

4

5

=

72

5

．
則有a=b=6時(shí)，面積取得最大值，且為

72

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查和差化積公式和二倍角的正切公式，考查基本不等式的運(yùn)用，以及三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．