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18.家用電腦桌的桌面采用直線與弧線相結(jié)合,前部采用弧線,后部改用直線型.現(xiàn)將電腦桌靠在墻邊,沿墻面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.弧線EF的方程為y=60x(5≤x≤12).鍵盤抽屜所在直線x+y-16=0與弧線交于A,B兩點(diǎn).?dāng)M在弧線EF上選取一點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線.垂足為C,D.四邊形OCPD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與三角形OAB的公共區(qū)域內(nèi)放置電腦.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y).公共部分面積為S.(單位:分米)
(1)求S關(guān)于x的表達(dá)式:
(2)求S的最大值及此時(shí)x的值.

分析 (1)由題意可知,A(6,10),B(10,6),分段討論即可求出相應(yīng)的解析式;
(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和基本不等式即可求出最值.

解答 解:(1)由題意可知,{y=60xx+y16=0解得{x=6y=10{x=10y=6,
即A(6,10),B(10,6),
當(dāng)5≤x≤6時(shí),S=8x215,
當(dāng)6<x<10時(shí),S=60-310(x2+3600x2),
當(dāng)10≤x≤12時(shí),S=1920x2,
故S={815x25x660310x2+3600x26x101920x210x12
(2)當(dāng)當(dāng)5≤x≤6時(shí),S=8x215為單調(diào)遞增函數(shù),S≤965
當(dāng)6<x<10時(shí),S=60-310(x2+3600x2)≤60-35x2+3600x2=24,當(dāng)且僅當(dāng)x=215時(shí)取等號(hào)
當(dāng)10≤x≤12時(shí),S=1920x2為單調(diào)遞減函數(shù),S≤965,
綜上,S的最大值為24平方分米,此時(shí)x=215分米.

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)的建模能力,空間想象能力,數(shù)學(xué)閱讀能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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