Question

12．設(shè)曲線y=2x-x³在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，點(diǎn)P（m，n）在l上，mn＞0，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{9}{2}$

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切線的方程，即有m+n=2，則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$），運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：y=2x-x³的導(dǎo)數(shù)為y′=2-3x²，
可得在點(diǎn)（1，1）處的切線斜率為2-3=-1，
即有在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=-（x-1），
即為y=2-x，
點(diǎn)P（m，n）在l上，mn＞0，
可得m+n=2，（m＞0，n＞0），
則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$=$\frac{1}{2}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$）
≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}$）=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=$\frac{4}{3}$時(shí)，取得等號(hào)．
則$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$的最小值為$\frac{9}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意“1”的代換，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．