Question

1．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，則下列命題中的真命題是（　�。�
①將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，則所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
②將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，則所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；
③當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
④當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②④
• D． ②③

Answer 1

分析 根據(jù)已知函數(shù)的圖象，可分析出函數(shù)的最值，確定A的值，分析出函數(shù)的周期，確定ω的值，將（，0）代入解析式，可求出φ值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．利用三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一分析各個選項(xiàng)即可得解．

解答 解：由函數(shù)圖象可得：A=$\sqrt{2}$，周期$\frac{3}{4}$T=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{3}$），可得：T=$π=\frac{2π}{ω}$，可得：ω=2，
由點(diǎn)（$\frac{5π}{12}$，$\sqrt{2}$）在函數(shù)的圖象上，可得：$\sqrt{2}$sin（2×$\frac{5π}{12}$+φ）=$\sqrt{2}$，
解得：φ=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，當(dāng)k=0時(shí)，可得φ=-$\frac{π}{3}$，
從而得解析式可為：f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
對于①，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，可得：f（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
將（0，0）代入不成立，故錯誤；
對于②，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，可得：f（x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{2}$sin2x，
由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知正確；
當(dāng)x∈[$\frac{π}{2}$，π]時(shí)，可得：2x-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]，故函數(shù)f（x）的最大值為f（x）_max=$\sqrt{2}$sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，故C錯誤，D正確．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)解析式的求法，三角函數(shù)圖象變換及正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中關(guān)鍵是要根據(jù)圖象分析出函數(shù)的最值，周期等，進(jìn)而求出A，ω和φ值，屬于基本知識的考查．