Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…）．則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…），且a₁=1，可得a₂=$\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{1}{2}$．n≥2時(shí)，a_n=$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，相減可得：a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1}{2}$S_n（n=1，2，3，…），且a₁=1，
∴a₂=$\frac{1}{2}{a}_{1}$=$\frac{1}{2}$．
n≥2時(shí)，a_n=$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$，相減可得：a_n+1-a_n=$\frac{1}{2}$S_n-$\frac{1}{2}{S}_{n-1}$=$\frac{1}{2}{a}_{n}$，化為：a_n+1=$\frac{3}{2}$a_n．
∴數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，公比為$\frac{3}{2}$，
∴a_n=$\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}$，
綜上可得：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．
故答案為：：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2}×（\frac{3}{2}）^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．