Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₄（ax²+2x+3），a∈R
（1）若f（x）的值域?yàn)閇$\frac{1}{2}$，+∞），求a；
（2）若f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增加的，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）a=0時(shí)，不合題意，得到a＞0，得到關(guān)于x的不等式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍即可；
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，由2x+3＞0，解得：x＞-$\frac{3}{2}$，
顯然函數(shù)的值域是R，不合題意；
故a＞0，由log₄（ax²+2x+3）≥$\frac{1}{2}$，
得：ax²+2x+3≥2，即ax²+2x+1≥0，
故△=4-4a≤0，
解得：a≥1；
（2）若f（x）在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增加的，
即y=ax²+2x+3在區(qū)間（-$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
故$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{x=-\frac{2}{2a}≤-\frac{1}{2}}\\{{a（-\frac{1}{2}）}^{2}+2×（-\frac{1}{2}）+3≥0}\end{array}\right.$，解得：0＜a≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的定義域、值域問題，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定內(nèi)、外函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．