Question

13．自貢某個工廠于2016年下半年對生產(chǎn)工藝進行了改造（每半年為一個生產(chǎn)周期），從2016年一年的產(chǎn)品中用隨機抽樣的方法抽取了容量為50的樣本，用莖葉圖表示如圖所示，已知每個生產(chǎn)周期內(nèi)與其中位數(shù)誤差在±5范圍內(nèi)（含±5）的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，與中位數(shù)誤差在±15范圍內(nèi)（含±15）的產(chǎn)品為合格品（不包括優(yōu)質(zhì)品），與中位數(shù)誤差超過±15的產(chǎn)品為次品．企業(yè)生產(chǎn)一件優(yōu)質(zhì)品可獲利潤20元，生產(chǎn)一件合格品可獲利潤10元，生產(chǎn)一件次品要虧損10元．
（Ⅰ）求該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤的分布列和期望；
（Ⅱ）是否有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．
附：

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)上半年和下半年的數(shù)據(jù)，得出這50件產(chǎn)品的利潤頻率分布表，
寫出生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤分布列，計算期望值；
（Ⅱ）填寫2×2列聯(lián)表，計算觀測值K²，比較臨界值得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）上半年的數(shù)據(jù)為：13，14，18，21，22，26，27，29，31，34，35，35，35，38，
42，43，45，46，46，53，54，57，58，61，62；
“中位數(shù)”為35，優(yōu)質(zhì)品有6個，合格品有10個，次品有9個；
下半年的數(shù)據(jù)為：13，18，20，24，24，28，29，30，31，32，33，33，35，36，37，
40，41，42，42，43，47，49，51，58，62；
“中位數(shù)”為35，優(yōu)質(zhì)品有9個，合格品有11個，次品有5個；
則這個樣本的50件產(chǎn)品的利潤的頻率分布表為

利潤	頻數(shù)	頻率
20	15	0.3
10	21	0.42
-10	14	0.28

所以，該企業(yè)2016年一年生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤的分布列為

	頻率	利潤
優(yōu)質(zhì)品	0.3	6
合格品	0.42	4.2
次品	0.28	-2.8

期望值為6+4.2-2.8=7.4；
（Ⅱ）由題意，填寫2×2列聯(lián)表如下；

	上半年	下半年
優(yōu)質(zhì)品	6	9	15
非優(yōu)質(zhì)品	19	16	35
	25	25	50

計算觀測值K²=$\frac{50{×（6×16-9×19）}^{2}}{25×25×15×35}$≈0.857，
由于0.857＜3.841，
所以沒有95%的把握認(rèn)為“優(yōu)質(zhì)品與生產(chǎn)工藝改造有關(guān)”．

點評 本題考查了利潤的頻率分布列以及數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了獨立性檢驗的運用問題，是綜合性題目．