Question

8．已知函數(shù)f（x）=（a+$\frac{1}{a}$）lnx-x+$\frac{1}{x}$，其中a＞0．
（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)a∈（1，e]，當(dāng)x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞）時(shí)，記f（x₂）-f（x₁）的最大值為M（a），那么M（a）是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）=$\frac{-（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），由此根據(jù)a=1，a＞0且a≠1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論，能求出a的取值范圍．
（Ⅱ）當(dāng)a∈（1，e]時(shí)，$\frac{1}{a}＜1＜a$，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，a）上單調(diào)遞增，在（a，+∞）上單調(diào)遞減，對(duì)?x₁∈（0，1），有f（x₁）≥f（$\frac{1}{a}$），對(duì)?x₂∈（1，+∞），有f（x₂）≤f（a），從而[f（x₂）-f（x₁）]_max=f（a）-f（$\frac{1}{a}$），由此能求出M（a）存在最大值$\frac{4}{e}$．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=（a+$\frac{1}{a}$）lnx-x+$\frac{1}{x}$，其中a＞0，
∴${f}^{'}（x）=（a+\frac{1}{a}）\frac{1}{x}-1-\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
①當(dāng)a=1時(shí)，${f}^{'}（x）=-\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，不存在極值點(diǎn)；
②當(dāng)a＞0時(shí)，且a≠1時(shí)，f′（a）=f′（$\frac{1}{a}$）=0，
經(jīng)檢驗(yàn)a，$\frac{1}{a}$均為f（x）的極值點(diǎn)，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
（Ⅱ）當(dāng)a∈（1，e]時(shí)，$\frac{1}{a}＜1＜a$，
f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，a）上單調(diào)遞增，
在（a，+∞）上單調(diào)遞減，
對(duì)?x₁∈（0，1），有f（x₁）≥f（$\frac{1}{a}$），對(duì)?x₂∈（1，+∞），有f（x₂）≤f（a），
∴[f（x₂）-f（x₁）]_max=f（a）-f（$\frac{1}{a}$），
∴M（a）=f（a）-f（$\frac{1}{a}$）
=[（a+$\frac{1}{a}$）lna-a+$\frac{1}{a}$]-[（a+$\frac{1}{a}$）ln$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{a}$+a]
=2[（a+$\frac{1}{a}$）lna-a+$\frac{1}{a}$]，a∈（1，e]，
M′（a）=2（1-$\frac{1}{{a}^{2}}$）lna+2（a+$\frac{1}{a}$）$\frac{1}{a}$+2（-1-$\frac{1}{{a}^{2}}$）
=2（1-$\frac{1}{{a}^{2}}$）lna，a∈（1，e]．
∴M′（a）＞0．即M（a）在（1，e]上單調(diào)遞增，
∴[M（a）]_max=M（e）=2（e+$\frac{1}{e}$）+2（$\frac{1}{e}-e$）=$\frac{4}{e}$，
∴M（a）存在最大值$\frac{4}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．