Question

18．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\sqrt{x}+a（x-1）+b（a，b∈R，a，b$為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（1，0），且在點（1，0）處的切線與直線y=-$\frac{2}{3}$x垂直．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）當(dāng)1＜x＜3時，有f（x）＜$\frac{（9+m）x+5m-9}{x+5}$成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將（1，0）代入f（x），求導(dǎo)則在（1，0）處切線斜率k=f′（1），由（1+$\frac{1}{2}$+a）×（-$\frac{2}{3}$）=-1，即可求得a和b的值；
（Ⅱ）由1＜x＜3時，$f（x）＜\frac{（9+m）x+5m-9}{x+5}$等價為$f（x）＜\frac{9（x-1）}{x+5}+m$，構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求得函數(shù)的最值，即可求得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）將（1，0）代f（x），可知：$0=ln1+\sqrt{1}+a（1-1）+b$①
∵求導(dǎo)$f'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}+a$，則在（1，0）處切線斜率k=f′（1）=1+$\frac{1}{2}$+a，
則（1+$\frac{1}{2}$+a）×（-$\frac{2}{3}$）=-1，②
由①、②解得：a=0，b=-1，
a、b的值0，-1；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=lnx+\sqrt{x}-1$，
∵$\frac{（9+m）x+5m-9}{x+5}=\frac{9（x-1）+m（x+5）}{x+5}=\frac{9（x-1）}{x+5}+m$，
∴1＜x＜3時，$f（x）＜\frac{（9+m）x+5m-9}{x+5}$等價為$f（x）＜\frac{9（x-1）}{x+5}+m$，…（8分）
令$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}$，則h（x）＜m，
當(dāng)1＜x＜3時，$h'（x）=\frac{1}{x}+\frac{1}{{2\sqrt{x}}}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}=\frac{{2+\sqrt{x}}}{2x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}$，
∵x＞1時$2\sqrt{x}=2\sqrt{x•1}＜x+1$，
∴$h'（x）=\frac{{2+\sqrt{x}}}{2x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}＜\frac{x+5}{4x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}=\frac{{{{（x+5）}^3}-216x}}{{4x{{（x+5）}^2}}}$，
令p（x）=（x+5）³-216x，則p'（x）=（x+5）³-216x=3（x+5）²-216
∵1＜x＜3，
∴p'（x）=3（x+5）²-216＜3（3+5）²-216＜0，
∴p（x）=（x+5）³-216x在（1，3）內(nèi)為減函數(shù)，
∵p（1）=（1+5）³-216=0，
∴當(dāng)1＜x＜3時$h'（x）=\frac{{2+\sqrt{x}}}{2x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}＜\frac{x+5}{4x}-\frac{54}{{{{（x+5）}^2}}}=\frac{{{{（x+5）}^3}-216x}}{{4x{{（x+5）}^2}}}＜0$，
∴$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}$在（1，3）內(nèi)為減函數(shù)，
∵h(yuǎn)（1）=0，
∴當(dāng)1＜x＜3時，$h（x）=f（x）-\frac{9（x-1）}{x+5}＜0$
∴實數(shù)m的取值范圍是（0，+∞）．…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程，考查導(dǎo)數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．