10．三棱錐P-ABC的四個頂點都在半徑為4的球面上，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則該三棱錐側(cè)面積的最大值為32．

分析 由已知，三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上，且PA，PB，PC兩兩垂直，球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，由基本不等式易得到三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值．

解答 解：∵PA，PB，PC兩兩垂直，
又∵三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為3的球面上，
∴以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑．
∴64=PA2+PB2+PC2，
則由基本不等式可得PA2+PB2≥2PA•PB，PA2+PC2≥2PA•PC，PB2+PC2≥2PB•PC，
即64=PA2+PB2+PC2≥PA•PB+PB•PC+PA•PC
則三棱錐P-ABC的側(cè)面積S=$\frac{1}{2}$（PA•PB+PB•PC+PA•PC）≤32，
則三棱錐P-ABC的側(cè)面積的最大值為32，
故答案為：32．

點評 本題考查的知識點是棱錐的側(cè)面積，基本不等式，棱柱的外接球，其中根據(jù)已知條件，得到棱錐的外接球直徑等于以PA，PB，PC為棱的長方體的對角線，是解答本題的關(guān)鍵．

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