Question

3．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ax-$\frac{π}{4}$）cos（ax-$\frac{π}{4}$）+2cos²（ax-$\frac{π}{4}$）（a＞0），且函數(shù)的最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求a的值．
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求，可求f（x）最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（ax-$\frac{π}{4}$）cos（ax-$\frac{π}{4}$）+2cos²（ax-$\frac{π}{4}$）（a＞0），
化簡可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin（2ax-$\frac{π}{2}$）+cos（2ax-$\frac{π}{2}$）+1
=$\sqrt{3}$cos2ax+sin2ax+1
=2sin（2ax+$\frac{π}{3}$）+1
∵函數(shù)的最小正周期為$\frac{π}{2}$．即T=$\frac{π}{2}$
由T=$\frac{2π}{2a}$，可得a=2．
∴a的值為2．
故f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{3}$）+1；
（Ⅱ）x∈[0，$\frac{π}{4}$]時，4x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]．
當(dāng)4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為$-2×\frac{\sqrt{3}}{2}+1$=1$-\sqrt{3}$．
當(dāng)4x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2×1+1=3
∴f（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值為3，最小值為1$-\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題