Question

18．設(shè)f（x）=e^x，f（x）=g（x）-h（x），且g（x）為偶函數(shù)，h（x）為奇函數(shù)，若存在實數(shù)m，當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，則m的最小值為（　�。�

• A． $\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$
• B． $\frac{2}{{e}^{2}+1}$
• C． $\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}$
• D． $\frac{1-{e}^{2}}{1+{e}^{2}}$

Answer 1

分析 由F（x）=g（x）+h（x）及g（x），h（x）的奇偶性可求得g（x），h（x），進(jìn)而可把mg（x）+h（x）≥0表示出來，分離出參數(shù)后，求函數(shù)的最值問題即可解決．

解答 解：由f（x）=g（x）-h（x），即e^x=g（x）-h（x）①，得e^-x=g（-x）-h（-x），
又g（x），h（x）分別為偶函數(shù)、奇函數(shù)，所以e^-x=g（x）+h（x）②，
聯(lián)立①②解得，g（x）=$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x），h（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）．
mg（x）+h（x）≥0，即m•$\frac{1}{2}$（e^x+e^-x）+$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）≥0，也即m≥$\frac{{e}^{-x}-{e}^{x}}{{e}^{x}+{e}^{-x}}$，即m≥1-$\frac{2}{1+{e}^{-2x}}$
∵存在實數(shù)m，當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式mg（x）+h（x）≥0成立，1-$\frac{2}{1+{e}^{-2x}}$≥$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$，∴m≥$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$．
∴m的最小值為$\frac{{e}^{2}-1}{{e}^{2}+1}$．
故選A．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)恒成立問題，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大．