Question

8．已知函數(shù)$f（x）={log_2}（{a^{2x}}+{a^x}-2）$（a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）f（x+1）-f（x）＞2．

Answer 1

分析 （1）代值計算并根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于x 的不等式，解得即可．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）={log_2}（{a^{2x}}+{a^x}-2）$（a＞0），且f（1）=2，
∴l(xiāng)og₂（a²+a-2）=2=log₂4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a-2＞0}\\{{a}^{2}+a-2=4}\end{array}\right.$，
解得a=2，
∴f（x）=log₂（2^2x+2^x-2），
設(shè)t=2^2x+2^x-2＞0，解得x＞0，
∴f（x）的遞增區(qū)間（0，+∞）；
（2）f（x+1）-f（x）＞2，
∴l(xiāng)og₂（2^2x+2+2^x+1-2）-log₂（2^2x+2^x-2）＞2=log₂4，
∴2^2x+2+2^x+1-2＞4（2^2x+2^x-2），
∴2^x＜3，
∴x＜log₂3，
∵x＞0
∴0＜x＜log₂3
∴不等式的解集為（0，log₂3）

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義和性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解的問題，屬于中檔題