Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx+（e-a）x-b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．若不等式f（x）≤0恒成立，則$\frac{a}$的最小值為-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 求出${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a$，x＞0，當a≤e時，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，當a＞e時，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a=0$，得x=$\frac{1}{a-e}$，由題意當x=$\frac{1}{a-e}$時，f（x）取最大值0，推導出$\frac{a}≥\frac{-1-ln（a-e）}{a}$（a＞e），令F（x）=$\frac{-1-ln（x-e）}{x}$，x＞e，F(xiàn)′（x）=$\frac{（x-e）ln（x-e）-e}{（x-e）{x}^{2}}$，令H（x）=（x-e）ln（x-e）-e，H′（x）=ln（x-e）+1，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出$\frac{a}$的最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=lnx+（e-a）x-b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，
∴${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a$，x＞0，
當a≤e時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）≤0不可能恒成立，
當a＞e時，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}+e-a=0$，得x=$\frac{1}{a-e}$，
∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值為0，
當x∈（0，$\frac{1}{a-e}$）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x∈（$\frac{1}{a-e}$，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當x=$\frac{1}{a-e}$時，f（x）取最大值，
f（$\frac{1}{a-e}$）=-ln（a-e）-b-1≤0，
∴l(xiāng)n（a-e）+b+1≥0，
∴b≥-1-ln（a-e），
∴$\frac{a}≥\frac{-1-ln（a-e）}{a}$（a＞e），
令F（x）=$\frac{-1-ln（x-e）}{x}$，x＞e，
F′（x）=$\frac{-\frac{1}{x-e}x+1+ln（x-e）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-e）ln（x-e）-e}{（x-e）{x}^{2}}$，
令H（x）=（x-e）ln（x-e）-e，
H′（x）=ln（x-e）+1，
由H′（x）=0，得x=e+$\frac{1}{e}$，
當x∈（e+$\frac{1}{e}$，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，
x∈（e，e+$\frac{1}{e}$）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，
∴當x=e+$\frac{1}{e}$時，H（x）取最小值H（e+$\frac{1}{e}$）=-e-$\frac{1}{e}$，
∵x→e時，H（x）→0，x＞2e時，H（x）＞0，H（2e）=0，
∴當x∈（e，2e）時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，
當x∈（2e，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函九，
∴x=2e時，F(xiàn)（x）取最小值，F(xiàn)（2e）=$\frac{-1-1}{2e}$=-$\frac{1}{e}$，
∴$\frac{a}$的最小值為-$\frac{1}{e}$．
故答案為：-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查兩數(shù)比值的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運用．