Question

19．設(shè)集合$A=[（x，y）|\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}≤1]，B=[（x，y）|\left\{\begin{array}{l}|x|≤m\\|y|≤n\end{array}\right.，0＜m＜5，0＜n＜4且（m，n）∈A]$，則集合∁_AB對(duì)應(yīng)圖形面積取得最小值時(shí)，m+n的值為（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$
• B． $5\sqrt{2}$
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 由題意，求出橢圓的內(nèi)接矩形面積最大值即可，利用基本不等式，結(jié)合面積公式可得結(jié)論．

解答 解：由題意，求出橢圓的內(nèi)接矩形面積最大值即可，
由于$\frac{{m}^{2}}{25}+\frac{{n}^{2}}{16}$=1≥$\frac{mn}{10}$，∴mn≤10，∴S=4mn≤40，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{m}^{2}}{25}$=$\frac{{n}^{2}}{16}$=$\frac{1}{2}$，即m=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，n=2$\sqrt{2}$時(shí)，橢圓的內(nèi)接矩形面積確定最大值，
∴m+n=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的運(yùn)用，考查基本不等式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．