Question

15．已知圓C：x²+y²=9，點(diǎn)A（-5，0），直線l：x-2y=0．
（1）求與圓C相切，且與直線l垂直的直線方程；
（2）設(shè)定點(diǎn)$B（-\frac{9}{5}，0）$，問(wèn)：對(duì)于圓C上任一點(diǎn)P，$\frac{PB}{PA}$是否為一常數(shù)？若是，求出這個(gè)常數(shù)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所求直線與直線l垂直，設(shè)所求直線方程為y=-2x+b，即2x+y-b=0，利用直線與圓相切，距離d=r可得b的值，可得直線方程．
（2）設(shè)出P點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，求解BP和PA，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，所求直線與直線l垂直，
設(shè)所求直線方程為y=-2x+b，即2x+y-b=0，
∵直線與圓相切，∴$\frac{|-b|}{{\sqrt{{2^2}+{1^2}}}}=3$，得$b=±3\sqrt{5}$，
∴所求直線方程為$y=-2x±3\sqrt{5}$．
（2）圓C上任一點(diǎn)為P，設(shè)P（x，y），則y²=9-x²，
∴$\frac{{P{B^2}}}{{P{A^2}}}=\frac{{{{（x+\frac{9}{5}）}^2}+{y^2}}}{{{{（x+5）}^2}+{y^2}}}=\frac{{{x^2}+\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}+9-{x^2}}}{{{x^2}+10x+25+9-{x^2}}}=\frac{{\frac{18}{25}（5x+17）}}{2（5x+17）}=\frac{9}{25}$，
從而$\frac{PB}{PA}=\frac{3}{5}$為常數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，根據(jù)直線和圓相切距離d=r是解決本題的關(guān)鍵．同時(shí)考查了兩點(diǎn)之間的距離公式的運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于中檔題．