Question

16．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，（a≠0）．
（1）若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，x₃且x₁+x₂+x₃=$\frac{9}{2}$，x₁x₃=-12，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f′（1）=-$\frac{3}{2}$a，9a＞2c＞4b，試問：導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)f′（x）的兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離不小于$\sqrt{3}$，求$\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表達(dá)式可得有一零點(diǎn)為零，根據(jù)條件得出a，b，c值，求出函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)條件，得出a＞0，b＜0，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對(duì)參數(shù)c分類討論，判斷導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論和韋達(dá)定理，判斷$\frac{a}$的范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=ax³+bx²+cx．（a≠0），又x₁，x₂，x₃，x₁x₃=-12
則x₂=0，x₁+x₃=$\frac{9}{2}$，x₁x₃=-12，
∵-$\frac{a}$=$\frac{9}{2}$，$\frac{c}{a}$=-12，
即b=-$\frac{9}{2}$a，c=-12a，
∴f（x）=ax³-$\frac{9}{2}$ax²-12ax，
所以f′（x）=3ax²-9ax-12a=3a（x-4）（x+1）．
令 f′（x）=0  解得：x=-1，x=4…（3分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，4），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，1）和（4，+∞），
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞曾區(qū)間是（1，4），
單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，1）和（4，+∞），…（4分）
（2）因?yàn)閒′（x）=3ax²+2bx+c，f′（1）=-$\frac{3}{2}$a，
所以f′（1）=3a+2b+c=-$\frac{3}{2}$a，即9a+4b+2c=0．
因?yàn)?a＞2c＞4b，
所以，即a＞0，b＜0（7分）
于是f′（1）=-$\frac{3}{2}$a＜0，f′（0）=c，f′（2）=12a+4b+c=3a-c．…（6分）
①當(dāng)c＞0時(shí)，因?yàn)閒′（0）=c＞0，f′（1）=-$\frac{3}{2}$a＜0，
則f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．
②當(dāng)c≤0時(shí)，因?yàn)閒′（1）=-$\frac{3}{2}$a＜0，f′（2）=3a-c＞0，
則f′（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)至少有一零點(diǎn)．
故導(dǎo)函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．…（8分）
（3）設(shè)m，n是導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c 的兩個(gè)零點(diǎn)，則m+n=-$\frac{2b}{3a}$，mn=$\frac{c}{3a}$．
2c=-9a-4b，9a＞2c＞4b，所以9a＞-9a-4b＞4b，
∴-$\frac{9}{8}$＞$\frac{a}$＞-$\frac{9}{2}$，
因?yàn)閨m-n|≥$\sqrt{3}$，
∴$\frac{a}$＞-$\frac{3}{2}$，
綜上分析，$\frac{a}$的取值范圍是．[-$\frac{3}{2}$，-$\frac{9}{8}$）…（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了零點(diǎn)的概念和判斷，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，韋達(dá)定理的應(yīng)用．